発達障害者支援センター

発達障害者支援センターに設置義務があるか？
という点についてですが、

まず条文確認です。

（発達障害者支援センター等）

第十四条 　都道府県知事は、次に掲げる業務を、社会福祉法人その他の政令で定める法人であって当該業務を適正かつ確実に行うことができると認めて指定した者（以下「発達障害者支援センター」という。）に行わせ、又は自ら行うことができる。

一 　発達障害の早期発見、早期の発達支援等に資するよう、発達障害者及びその家族に対し、専門的に、その相談に応じ、又は助言を行うこと。

二 　発達障害者に対し、専門的な発達支援及び就労の支援を行うこと。

三 　医療、保健、福祉、教育等に関する業務（次号において「医療等の業務」という。）を行う関係機関及び民間団体並びにこれに従事する者に対し発達障害についての情報提供及び研修を行うこと。

四 　発達障害に関して、医療等の業務を行う関係機関及び民間団体との連絡調整を行うこと。

五 　前各号に掲げる業務に附帯する業務

２ 　前項の規定による指定は、当該指定を受けようとする者の申請により行う。


ということなので、別に義務ではありません

都道府県知事が社会福祉法人等を指定したり、
あるいは自ら行うという記載になっていますね。

そして

こんなサイトもありまして、
指定都市についても触れられています。

国立障害者リハビリセンターHP

ご参照ください。